「現代数学入門」同型、準同型

同型、準同型

二つの環R、R'が加法、乗法、そして定数の情報を含めて一対一対応できるとき、R、R'は同型であると言います。

つまり、Rの要素aをR'の要素a'に一対一に対応させるφという対応があって、

a→(φ)→a'

記号で書くと、

φ(a)=a'

があって、

φ(a±b)=φ(a)±φ(b)
φ(ab)=φ(a)φ(b)
φ(αa)=αφ(a)

という条件を満足するとき、φは同型対応、若しくは同型写像と言います。
そしてこのようなφが存在したならば、RとR'は同型な環であると言います。

つまり、RとR'は環として全く同一の構造を持っていることになります。
だから、RとR'をその内部構造だけから区別することができません。

Rをそれと同型なR'で置き換えてもそれだけではあまり役に立ちませんが、準同型という考えを持て来ますと、環の構造の簡素化、縮小ともいうべき手続きになります。

RからR'の上への写像φがあって、それは多対一であってもよいものとします。
そして、加法と乗法についての条件は同型の場合と同じです。

このときR'の同一の要素にうつされるRの要素の集合をひとまとめにして、それを同一の類に集めますと、Rがいくつかの類に分けられます。

a1、a2がRの同じ類に属せば、

φ(a1)=φ(a2)

また、b1、b2が同じ塁に属せば、

φ(b1)=φ(b2)

ここで辺々をを加えましと、

φ(a1)+φ(b1)=φ(a2)+φ(b2)

準同型の定義から

φ(a1+b1)=φ(a2+b2)

同じく引いても、

φ(a1)-φ(b1)=φ(a2)-φ(b2)
φ(a1-b1)=φ(a2-b2)

同じくかけ合わせると、

φ(a1)φ(b1)=φ(a2)φ(b2)
φ(a1b1)=φ(a2b2)

以上のことから、同じ類に属する要素の和、差、積をつくってもそれらは同じ構造になるということを意味しています。

同型、準同型二

逆に言うと、２つの類から任意に要素をとってきて、例えばその和をつくると、様々な要素になりますが、それらの要素は多くの類にまたがって含まれることはなく、１つの類に入ってしまうということです。

つまり、各々の類は＋、－、×という演算に対して一塊になる、換言すれば、＋、－、×の演算に対して強い団結力があるのです。

それ故にこのような類は一つの要素と看做してしまうことが可能なのです。
その陽に得られた環は当然、R'と同型となります。

以上のことは、準同型写像φが存在しているという前提から話を始めていますが、逆に、或る類別があるということから始めてR'に相当する縮小した環をつくることも可能です。

ここで類別できるといっても、R全体の類別ではなく、縮小されたR'の0にうつされ事を予定される類だけが与えられているのでも構いません。
そのような類Mはどのような条件を満たすのでしょうか。

２つの要素が0にうつされるとします。

φ(a)=0
φ(b)=0
φ(a+b)=φ(a)+φ(b)=0+0=0

つまり、a+bも0にうつされ、a+bはその類Mに属することになります。

a-bも同様です。

xがRの任意の要素であるとしますと、

φ(xa)=φ(x)φ(a)=φ(x)・0=0
φ(ax)=φ(a)φ(x)=0・φ(x)=0

つまり、xaもaxも0にうつされます。
それ故にxaもaxもその類Mに属します。

同型、準同型三

前述のことをまとめると次のようになります。

(１) 加法について閉じている
(２) Mの任意の要素aにRの要素が左右からかけて得られる要素の集合をRM、MRとすれば、それらはMに含まれます。

RM⊂M
MR⊂M

一般にこのような条件を満たす環の部分集合をその環のイデアールと言います。

それ故に、R'の0にうつされるRの要素全体はRのなかでイデアールをつくることが解かりました。

このイデアールIが一つ与えられると、それを元にしてR全体を類別することができるのです。
それはRの二つの要素a、bはその差a-bがIに属するとき、同じ類に属するものとすると定義するのです。

確かにφの存在を仮定しますと、

φ(a-b)=φ(a)-φ(b)=0

となる筈です。

子の類別を元にして、Rの要素aをそれが属する類dへうつす写像をφとしますと、

φ(a)=d

この写像は加、減、乗をそのままうつすこともたやすく証明できます。
このようにして得られた縮小された環をRのIによる剰余環と言い、R／Iで表します。

それ故に、イデアールIがあるといつでもR／Iという縮小された環がつくられるのです。

以上のことから、群における不変部分群から商群もしくは剰余群をつくる手続きとよく似ていることが解かると思います。
その商群もしくは剰余群は剰余環と同様に縮小してより簡単な構造をもつ群をつくり出す手続きでした。

「現代数学入門」同型、準同型