「現代数学入門」部分群の位数

部分群の位数

G=g+a1g+a2g+……+a(k-1)g

ここで各々の項は一般に共通部分を持ち得ますが、gがGの部分集合である場合は、共通部分がありません。

仮にajgとajgが共通の要素を持てば、

aigr=aigs(gr,gsはgの要素)

となり、

ai=aigsgr^-1

gagr^-1はgの要素であり、aiはaigに属する事になり仮定に反します。

それ故に、g,arg,asg,……akgは互いに共通部分を持たない事になります。

また、g,a1g,a2g,……akgはみな同じ個数の要素を含んでいます。

何故なら、aigとajgの間に

aigs<―>ajgs

という一対一対応だからです。

故に、gの位数はkを書けるとGの位数になります。
つまり、Gの位数はgの位数で割り切れるものなのです(証明終わり)。

以上のことを持つと解かり易くいいますと、以下のようになります。

Gの部分群　g={g1,g2,g3,……,gm}

がある時、Gの中に部分集合Aを適当に選びますと、

A={e,a1,a2,……,a(k-1)}

Gの要素は全てe=a0としますと、 

      i=0,1,2,…,k-1
aigs={             }
      s=1,2,……,m

の形に唯一通り書き表わされることを意味します。

これは次のように書き表わせます。

g1 a1g1 a2g1…… a(k-1)g1
g2 a2g2 a2g2…… a(k-1)g2
…………　　　　　……
gm a1gm a2gm……a(k-1)gm

ここで縦に並んでいる要素の集まりを副群と呼ぶことがあります。
しかし、g以外のa1g,a2g,……,a(k-1)gはそれ自身では決して群ではありませんので、この副群という呼び名はふさわしくありません。
そこで、右剰余類と呼んでいます。

以上のことより、群の位数は群の構造に深く関わっている事が解かりました。

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