「現代数学入門」集合の累乗

集合の累乗 一

有限の数ではa^bという累乗は、aをb個かけたもののことです。
それを次のように考えます。
集合Mが{1,2,3,……,b}という数の集合であると仮定します。
そしてNが{1,2,3,……,b}という数の集合であるとします。
ここで、MからNへの写像をfとします。

　f
M←N

このような写像fの全ての数を計算してみます。
このような写像は、a×a×a×……×a(aはb個です)＝a^bとなります。
つまり、 

M
1……　　　　　2……　　　     ……b
↓             ↓　　　　　　  ↓　
1,2,3,……,a   1,2,3,……,a    1,2,3,……,a
↓　　　　　　 ↓　　　　　　　↓
N　　　　　　　N　　　　　　 　N

つまり、a^bのb個のま集合Mからa個の集合Nへの写像全体の数と看做す事が出来ます。
これを逆にして、NからMの写像がa^bと定義しても構いません。
当然、写像という代わりにxがMの要素となり、yがNの要素となるすべての関数の集合N^Mと定義しても構いません。

定義をそのように逆転させると、この定義はM,Nが無限集合の場合に拡張する事が容易になります。
以上のように考えますと、実数の非可算性という事はどうなるのかといいますと、
無限小数、0.a1a2a3a4……an……

は別の見方をしますと、 

1     2     3       ……n……
↓    ↓    ↓　　　……↓……
a1　　a2　　a3　　　……an……

という対応が与えられていますので、

M＝{1,2,3,……,n,……}
N＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

としたときにMからNへの写像の一つ、つまり、MをNに写す関数の一つを与えています。

集合の累乗 二

だから無限小数の全体はN^Mと表されます。
実数の非可算性というのは、N^MがMより大きいという事に外なりません。
ただし、無限小数では、

0.39999……　と　0.40000……

は等しいと看做さなければなりません。

ここで、この証明は10進小数という事は本質的ではなく、一般化すれば、n進小数であっても構いません。
では、2進小数を展開してみます。

この時、N＝{0,1}となります。2進小数で書きますと、

0.10110……
0.010110……

というように0と1という数字だけが出てきます。
ここで例えば、

0.10110……

という2進小数は次のようになります。 

M
1　　　2　　　3　　　4　　　5……
↓　　↓　　　↓　　↓　　　↓
1　　　0　　　1　　　1　　　0……

つまり、M＝{1,2,3,……}の中で1に対応する数の集合をPとしますと、PはMの部分集合となり、

P＝{1,3,4,……}

つまり、1つの2進小数がMの部分集合となります。

そのために、以上のような写像の全体を考える事は、Mの部分集合の全体を考える事に外なりません。
つまり、実数の非可算であるという事は、自然数全体の集合の全ての部分集合は非可算であることを意味している筈です。

可算なMの集合数をaで表します。Nの集合数は0と1の2でありますので2^aと書いても構わない筈です。

そうしますと、実数の非可算性は、a＜2^a

という不等式で表されます。

はじめに

古代の数学

中世の数学

近代の数学

現代の数学

現代数学への誘い