「現代数学入門」集合と形式論理学の関係

集合と形式論理学の関係

ここでは、集合Ｅをその満たす条件によって定義するやり方、つまり、

Ｅ＝{ｘ｜ｘは……である}

というやり方に変えます。

「ｘは……である」

というのはｘを主語とする一つの命題ですが、この命題をＰ(ｘ)という形で表してみます。
ここで「……である」がＰ()に当たります。つまりら、これは主語ｘと述語Ｐ()を結んだものといえます。
このように考えた時のＰ(ｘ)をｘを変項とする命題関数と呼ぶことがあります。
そのために、ＥはＰ(ｘ)を真とするｘ全体の集合となるのです。

Ｅ＝{ｘ｜Ｐ(ｘ)}

つまり、ここで述語Ｐ()から集合Ｅが決定されたことになります。

ＥをＰ(ｘ)の真理集合ということがあります。
ここで、集合と論理学が結び付いたことになります。

二つの命題Ｐ(ｘ)とＱ(ｘ)が同時に真となる、つまり、Ｐ(ｘ)かつＱ(ｘ)が真の集合が、二つの真理集合と共通集合となります。
「Ｐ(ｘ)かつＱ(ｘ)」をＰ(ｘ)∧Ｑ(ｘ)と書きますと、

{ｘ｜Ｐ(ｘ)}＝Ａ
{ｘ｜Q(ｘ)}＝Ｂ

ならば、

{ｘ｜Ｐ(ｘ)∧Ｑ(ｘ)}＝Ａ∩Ｂ

同じく、「Ｐ(ｘ)またはＱ(ｘ)」をＰ(ｘ)∨Ｑ(ｘ)と表しますと、

{ｘ｜Ｐ(ｘ)∨Ｑ(ｘ)}＝Ａ∪Ｂ

となり、また、Ｐ(ｘ)の否定を－^Ｐ(ｘ)(注：この記号は本来Ｐの上に棒線がある記号で表します)と表しますと、Ｐ(ｘ)の真理集合Ａの補集合－^Ａになります。

{ｘ｜－^Ｐ(ｘ)}＝－^Ａ

以上のようにして、集合の∩、∪、―^が命題の∧、∨、―^と照応することが解かったと思います。

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