「現代数学入門」有限体

有限体

有限体は一般にどんな構造を持っているかを書きます。

以下においては乗法の単位元を1ではなくeで表す事にします。

まず、このeをどんどん加えてゆきます。

e+e+e+……
eをn個加えたものをneで表す事にします。

e+e+……+e = ne
　　n
このnはKの要素とは限りません。
だから、neはKの２つの要素の積という意味を持っていません。

neの意味から

(n±m)e = ne±me

となることは明らかです。

また、

(e+e+……+e)(e+e+……+e)=e^2+e^2+……+e^2
     n            m             n×m

= e +e+……+e
　 n×m

つまり、

ne・me = nme

となります。

ここで、

e,2e,3e,……

を作っていきますと、Kは有限体ですので、全てが違っていることはできません。
それ故にこれらのうちの２つは同じでなければなりません。

ne = me
(n-m)e = ne-me = 0

つまり、eは何回か加えると０にならなければなりません。

e+e+……+e = 0

このような加える回数の最も小さいもの、言い換えると、

e = e
2e = e+e
3e = e+e+e ……

を作っていって、最初に0となるものをpeであるとします。

pe = e+e+……+e = 0
　　 p

この時pはどうしても素数でなければなりません。
Pが素数でないとしますと、

p = rs

rもsもpより小さいものとします。

0 = pe = rse = re?se

仮にre・seのうち一方のreが0でないとしますと、(re)^-1が存在することになります。
両辺に(re)^-1を掛けますと、

0 = se

つまり、re、seのうち少なくとも一方は0でなければなりません。
se=0としますと、peは最初に0になるという仮定に反します。
それ故にpはどうしても素数でなければなりません。

有限体二

Kは必ずeを含むことから、e+e、e+e+e、……も全て含みます。

それ故に、

0,e,2e,3e,……,(p-1)e

を必ず含んでいなければなりません。

これらの要素の集合をΠで表しますと、

Π = {0,e,2e,……,(p^1)e}

次にΠが体であることを証明します。

加法に関して群を作るのは容易に解かると思います。

ne+me = (n+m)e

で、n+mがp以上の大きさになった場合は、peを引いておけばよいし、neの逆元は(p-n)eとすればいいのです。

問題は除法です。
n≠0のとき、neの逆元はどのように求めるかを考えなければなりません。

つまり、

ne・xe = e

となるxを見つけることです。

nxe = e

つまり、

nx = 1+yg

となるような整数のx、yをも見つけ出せばよいのです。
これはnがpと互いに素であることから、必ず存在すると言えます。

つまり、このようにして得たxeがneの逆元なのです。

Xe = (ne)^-1

それ故にΠが体である事が解かったと思います。
このΠはKの中に含まれている最小の体ですので、素体と名付けられています。

これは、整数論の言語で言いますと、素数pを法とする剰余系をつくる体に他なりません。

P=5の時の加法と乗法の表をつくりますと、以下のようになります。

■加法
＼ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3

■乗法
＼ 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1

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