「現代数学入門」環

体よりも条件の緩やかにものとして環があります。
体と同様に環という名前は、商品の商標のようなもので、品質素の下は無関係なものなのです。
例えば、「ハチぶどう酒」といってもハチとは無関係な筈です。

環に＋、－、×だけ定義されていて、÷に関しては何もいっていません。

環はまず、

(１) 加法群です。

加法＋で、逆の演算は－で表します。

a+b,a-b

この加法群の単位元を0で表します。

(２) もう一つの演算、つまり乗法が定義されていて、これをabで表します。

この乗法は普通結合法則を満たしています。

(ab)c = a(bc)

しかし、結合法則が成立しない環もあります。

逆元に関しては何も規定されていません。
また、交換法則ab=baも成立するとは限りません。

(３) 加法と乗法の間には、分配法則が成立します。

a(b+c) = ab+ac
(b+c)a = ba+ca

現代数学入門