「現代数学入門」同型定理

同型定理

定理：Lは群Gの部分群、HはGの不変部分群であるとすると、HLはGの部分群である。
そして、HL／HはL／(H∩L)と同型である。

証明：まず、HはGの不変部分群であるから、もちろんHLは不変部分群である。
また、H∩LはLの不変部分群である。
何故ならaがH∩Lに属すればLに属する任意のxでx^-1axを作ると、それはHが不変部分群であるからHに属し、x^-1、a、xが全てLに属するから、Lに属する。
従って、H∩Lに属します。
だから、H∩LはLの不変部分群である。

それ故に、HL／HとL／(H∩L)は二つとも意味があります。
次に、この二つの剰余群の間に一対一対応を付けてみます。

HL／Hのある類kとL／(H∩L)のある類k'が共通部分を持ちます。
その一つの要素をlとすると、k'の要素は、(H∩L)lで表されます。
それ故にこれはHlに含まれます。

(H∩L)l⊂Hl

つまり、k'⊂k。

また、l1とl2がそれぞれL／(H∩L)の二つの類k'1、k'2に属しHL／Hの同じ類kに属するとしましょう。

この時、l1=hl2(hはHの要素)、h=l1l2^-1となりhはH∩Lに属します。それ故にl1とl2はL／(H∩L)と同じ類に属します。
従って、k'1=k'2。

つまり、HL／Hの一つの類はL／(H∩L)の一つの類を丸ごと含んでいて、しかもただ一つの類だけしか含んでいません。

ここで、k⊃k1'という一対一対応が得られます。
しかもこの対応が群の乗法に対して同型対応を与えるのは明らかです(証明終わり)。

同型定理二

この同型定理を最大公約数と最小公倍数の関係に当て嵌めてみます。

Gは有理数の加法の群であるとします。
mの倍数全体のつくる部分群をH、nの全ての倍数のつくる部分群をLとします。
この時、Gは可換群ですので、HもLも不変部分群となります。

H∩Lはmとnの共通の倍数、つまり、公倍数のつくる群ですので、m、nの最小公倍数rの倍数です。

HLはmx+ny(x、yは任意の整数)という形の全ての数の集合です。
このような数の中で0でなく、絶対値の最小泣かずsとします。
mx+nyは全てsの倍数です。
それ故、mもnもsの倍数です。
M、nの任意の公約数をtとしますと、このtはH∩Lの全ての数を割り切れます。
それ故にsも割り切れます。

そこで、sは自ずと最大公約数である事が解かると思います。

つまり、HLはsの倍数となっているのです。

ここで先ほど証明しました同型定理をこの最大公約数に適応してみます。

HL／Hの位数はm／sです。またL／(H∩L)の位数はr／nです。
HL／HとL／(H∩L)は先に証明したように同型ですので、それからの位数はもちろん一致しなければなりません。

m／s=r／n

従って、

rs=mn。

つまり、「二つの整数の最大公約数と最小公倍数の積はその二数の積に等しい」

「現代数学入門」同型定理