「現代数学入門」剰余群

剰余群

以上で準同型写像φがありますと、それによってH=φ^-1(e')という核が決まり、それがGの不変部分群になる事が解かったと思います。

今度は、これを逆にたどってみます。
つまり、Gの中の不変部分群Hから出発して、Hを核としても準同型φと準同型な群G'を作って見せる事が出来ます。

そのためにはまず、GをHで剰余類に分けてみますと、

G = H + aH + bH + ……

ここでaHに属するa1,a2とbHに属するb1,b2がある時、a1b1とa2b2が同じ類に属する事を示します。

a1b1 = ah1bh2 = abb^-1h1bh2 = ab(b^-1h1b)h2 (h1、h2はH2の要素)

Hは不変部分群ですので、b^-1h1bはHの要素です。
これをh3で表します。

= abh3h2 = ab(h3h2)

h2h3はHの要素ですので、a1b1はabと同じ類に属します。
a2b2に関しても全く同じことが言えます。
つまり、a1b1とa2b2は同じ類に属する事が解かると思います。

それ故に、不変部分群をもとにして剰余類に分けますと、それらの類は乗法に関して一団として振る舞います。
逆元に関してもまったく同じことが言えます。

a1とa2が同じ類に属すれば、a1^-1とa2^-1もやはり同じ類に属する事が解かります。

a1 = a1hのとき(hはHの要素)
a2^-1 = h^-1a1^-1 = a1^-1a1h^-1a1^-1 = a1^-1(a1h^-1a1^-1)

Hは不変部分群ですので、a1h^-1a1^-1はまたHに属します。
従ってHによる剰余類の一つ一つを一つの要素と看做せば、ここに一つの群が生まれてきます。
この群をGと名付けます。

剰余群二

Gの任意の要素aを、それの属する剰余類にうつす写像をφとすれば、φはGからG'への準同型写像です。
以上のように作られた群G'をHによるGの剰余群、または商群と言い、G／H=G'で表わします。

割り算の記号を使うのは、割り算本来が持つ意味を考えても適当と思われ、むしろ、巧妙な記号と言えます。

例えば、1,2,3という三つの数字を入れ替える操作のつくる群Gは位数3!=6の群です。
それは次のように表せます。

     1 2 3
a1=(      )
     1 2 3

     1 2 3
a2=(      )
     2 3 1

     1 2 3
a3=(      )
     3 1 2

     1 2 3
a4=(      )
     1 3 2

     1 2 3
a5=(      )
     3 2 1

     1 2 3
a6=(      )
     2 1 3

この中で

H = {a1,a2,a3}

は不変部分群となります。

Hの剰余類を作ると

G = H+a4H

となり、結局、Gが二つの類に分かれます。

　a1
 {a2}
  a3

　a4
 {a5}
  a6

この時のGの乗積表は以下の通りとなり、群としては位数2の群です。

     H    a4H

H    H    a4H

a4H  a4H  H

もう一つ例を挙げます。

Gは整数の加法の群であるとします。

G={……,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,……}

この群は結合が+で表されていて、もちろん可換群です。
それ故にその部分群は全て不変部分群です。

Gの中で一定の数hの倍数からできている要素全体HはGの部分群、つまり、不変部分群を作ります。

ここでG／Hを作るとこれは、各々積は0,1,2,……,h-1というh個の数で代表されます。

G'={0,1,2,……,h-1}

そしてG'の乗積表は――ここでは+で結合されます――は以下のようになります。

   0  1  2  ……  h-1
0  0  1  2  ……  h-1
1  1  2  3  ……  0
2  2  3  4  ……  1
・……　　　　　……
・……　　　　　……
h-1 h-1 0  1 ……  h-2

剰余群三

G'は360°／hの何倍かだけ回転する操作の群と全く同型です。

以上で群の中に不変部分群があれば、それを元にして準同型な剰余類が作られることが解かったと思います。

つまり、ある群が「多対一」の準同型写像で他の群に縮小してうつすことができるかどうかは、不変部分群が存在するかどうかに関係してきます。

不変部分群が存在しなければ、「多対一」の写像で縮小してうつすことはできない筈です。
もちろんすべての群は単位元のみからできている部分群、H={e}を持っていて、それは不変部分群であり、また群それ自身も不変部分群であるので、G／G={e}とG／{e}=Gという二つの剰余群は常に存在しますが、これは余りにもつまらないものですので除きます。
それ以外に不変部分群を有しない群を単純群と名付けます。

このような単純群は準同型写像で縮小出来ない群であると考えてもいいです。
これはある意味では素数のようなものです。

素数は、1とそれ自身以外には約数を有しない整数の事でした。
単純群も単位元の作る群とそれ自身以外には不変部分群を有しない群でした。

しかし、単純群の位数はいつも素数であるというと、決してそんなことはありません。
例えば、正20面体をそれ自身の上に重ねる操作の全体は位数が60の群を作る事は先述していますが、これは単純群です。

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