数学が密かなブームということで、遠山啓著「現代数学入門」(ちくま学芸文庫)をもとに現代数学について解説しています。
直和に関しては既出ですのでお解りかと思います。
それは環Rを２つの部分環の和に分けることで、
R=R1+R2
R1とR2は共通部分は0だけで、しかもR1とR2の任意の要素の積は0になります。
つまり、R1とR2は互いに打ち消し合うことになります。
それ故にR1もR2もRの中でイデアールになっています。
つまり、R1とR2は環としては全く無関係なのです。
互いに共通部分がないという環なのです。
これに対して直積はというと、R1、R2の係数が同じであるとして、R1の基u1、u2、……、umとR2の基v1、v2、……、vnからmn個の積を作り、
u1v1、u2v2、……、uivk、……、umvn
これを基とするmn次元の多元環がつくられ、これが直積の第一歩となります。
その時の加法は1次形式の加法であるとし、乗法は(uivk)(usvt)はvkとusが可換として
(uius)(vkvt)
と直し、この各々にR1、R2の乗法の規則をそのまま適応したものとして考えていいです。
或いは、R2を
α1v1+α2v2+……+αnvn
と書いた時、α1、α2、……、αnの代わりにそれを拡大したR1の要素の全てをを持って来たとしてもいいのです。
ただし、v1、v2、……、vnはR1の係数となっても1次独立性を保たなければなりません。
以上のように作られたmn次元の多元環をR1とR2の直積と言い、
R1×R2
で書き表わします。
