「現代数学入門」標数pの体

標数pの体

標数pの体は、いろいろな点で標数0の体と違っています。

例えば、

(a+b)^p=a^p+b^p

という恒等式が成立することも標数0の体からは考えられません。

二項定理を使いますと、 

               p           p                     p
(a+b)^p=a^p+(   )a^(p-1)b+(   )a^(p-2)b^2+……+(    )ab^(p-1)+b^p
               1           2                     p-1

となります。

ここで、 

 p   p
(  ),(  ),……は、それだけ同じ要素を加えるという意味です。
 1   2

これらの数が全てpの倍数である事が証明されれば、標数pということから0になる事が解かる筈です。

p
( )=(P!)／{m!(p-m)!} (1≦m m

であるので、

　　p
p!=( )m!(p-m)!
　　m

m!も(p-m)!もpで割り切れないけれども左辺はpで割り切れます。

よって

　p
( )がpで割り切れなければなりません。
　m

(証明終わり)

それ故に、二項展開の中間の項はすべて消えてしまい、両端だけが残りますので、

(a+b)^p=a^p+b^p

という恒等式が成立します。

これは、標数0の体だけを知っている人には誠に奇妙なものだと思いますが、代数を学び始めたばかりの時は、

(a+b)^2=a^2+b^2

などという間違いを行ってしまいますが、これは、実数体のような標数0の体では間違いなのですが、標数2の体では正しいのです。

はじめに

古代の数学

中世の数学

近代の数学

現代の数学

現代数学への誘い