「現代数学入門」T0-空間

T0-空間一

まず、コルモゴロフの分離定理というものを取り上げます。
それは以下の通りです。

「空間Rの任意の２点を取った時、少なくともそのうちは１点は他の一点を含まない近傍を有する」

この条件をT0といい、この条件を満足する空間をT0-空間と名付けます。
例えば、R自身と空集合だけを閉集合とする空間は、開集合もRと空集合だけだからで、一方だけを含み、他を含まない開集合は存在しないし、したがって近傍も存在しません。

このようなT0-空間では、１点pの閉包(p)は必ずしも其の１点ではありません。

一般には、

p∩(p)でp≠(p)

となっています。

このような空間の例として、次のようなものがあります。

三角形の３頂点を1、2、3と名付け、三角形を{1,2,3}、辺を{1,2}、{2,3}、{3,1}、頂点を{1}、{2}、{3}とし、これらの７個の集合をRとします。各要素の閉包は、その要素とその辺、端であるとします。

例えば、辺{1,2}の閉包は、

{1,2}、{1}、{2}

です。

この時、余集合は開集合になっています。このような空間では、T0の条件が成り立ちます。

T0の条件を閉包の条件に翻訳しますと、次のようになります。

定理：２つの異なる点の閉包は異なる

証明：p≠qとします。一方のpがqを含まない近傍U(p)を有するとします。そうすると、pはqの閉包＜q＞には含まれません。それ故に

(p)≠(q)

逆に、(p)≠(q)とします。pが＜q＞に含まれますと、

(p)∩<＜q＞>=＜q＞

また同じくqが(p)に含まれますと

(q)∩(p)

同時にp∩(q)、q∩(p)が成立すると、(p)=(q)となって矛盾します。それ故にp∩(q)、q∩(p)の一方は成立しません。仮に、p∩／(q)(∩／は含まないと言う記号です)ならば、pは(q)の余集合R-(q)に含まれます。これはU(p)とすれば、このU(p)は開集合で、qを含みません。(証明終わり)

T0-空間二

一般に半順序系Pがあったとします。
つまり、Pは半順序∧の定義された集合であるとします。

このPの部分集合Aに対して、Aのある要素aをとってx≦aとなるすべての要素の集合をその閉包の(a)と定義しますと、そのようにして得られた位相空間はT0-空間です。

それというのは、p≠qとして、pはqを含みませんので、(p)≠(q)、p>qでも、やはり、(p)≠(q)であり、T0-空間であることが解かります。

逆にT0-空間があって、p∩＜q＞のときp≦qという２項関係を導入しますと、p≦q、q≦rから

p∩＜q＞、q∩＜r＞

それ故に

p∩＜q＞、＜q＞∩<＜r＞>=＜r＞

となり、

p∩＜r＞

それ故に

p≦r

つまり、この≦は推移的となります。
それ故にこのRは半順次系。

それ故にT0-空間は半順序系と同一視しても差し支えありません。

T0-空間では、１点の閉包がその点より大きくなると言うのです。
幾何学的な常識からはほど遠いものです。
それ故にハウスドルフなどはこういう条件を飛び越して、もっと厳しい条件を始めに設定しました。
ところが、T0という条件は半順序系と関係づけられることが解かると、これは重要な一段階となりました。

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