「現代数学入門」触点と閉包

触点と閉包

近傍によって空間を規定してゆくこともできますが、また、閉包という考えで空間を作ってゆくことも可能です。

平面上に円があってその内部だけの集合をAとしましょう。
それ故にその円は周囲はAに含まれないものとします。
円外の点qがあったならば、十分小さい近傍をとりますと、その中にAの点が入り込んでこないようにします。
ところが、この時円周上の１点pをとりますと、pはもちろんAには含まれませんが、pの近くにはAが属する点がいくらでも存在します。

つまり、pの近傍はいくら小さいものを選んでも、その中にAの点は入り込んできます。
つまり、点pは全ての近傍がAと空でない交わりを持つときこのような点をAの触点といいます。
Aの点はもちろんAの触点ですが、円周上の点もやはりAの触点となつています。

Aの触点全体の集合をAの閉包といい、＜A＞と表すとします。
この＜A＞の性質を上げます。

（１）の条件でAの点pは常にその近傍に含まれますので、pはAの触点です。それ故にAは＜A＞に含まれます。

A⊂＜A＞

次にpが<＜A＞>に含まれるとしますと、pの近傍U(p)には必ず＜A＞のある点が含まれています。
この点をqとしますと、（３）によってqの近傍U(q)でU(p)に含まれるものが存在します。
qはAの触点ですので、U(q)にはAの点が含まれます。
それ故にU(p)はAのある点を含みます。

それ故にpはAの触点にもなっています。それ故に

＜A＞⊃<＜A＞>

既に証明したように＜A＞⊂<＜A＞>にもなつていますので、

＜A＞=<＜A＞>

次にA∪Bの閉包について考えます。

触点の定義から

＜A＞⊂
＜B＞⊂

それ故に

＜A＞∪＜B＞⊂

となる事は自明です。

その逆を証明しましょう。

pがに属するものとします。
そして、＜A＞にも＜B＞にも属さないとします。
そうするとpの近傍でAの点を含まない近傍U(p)と、Bの点を含まない近傍U'(p)が少なくとも一つは存在します。

（２）によってU(p)とU'(p)の両方に含まれる近傍U''(p)が存在することになります。
このU''(p)はAの点もBの点も含まないので、pはA∪Bの触点ではありません。
これは、仮定に反します。
それ故にpは＜A＞か＜B＞か少なくとも一方に属さなければなりません。

p∈＜A＞∪＜B＞

それ故に、

＜A＞∪＜B＞⊃

前述の結果と合わせますと、

＜A＞∪＜B＞=

もう一つ補足しますと、空集合φの閉包は空集合です。

すなわち、

<φ>=φ

です。

まとめて書きますと、

1. =＜A＞∪＜B＞
2. A⊂＜A＞
3. <＜A＞>=＜A＞
4. <φ>=φ

「Aを閉包＜A＞をつくる」という<>は1.2.3.4.を満足するRの部分集合に対する操作です。
元をただせば、この閉包をつくる<>は近傍から「近傍→触点→閉包」という順序で導き出されたものなのでした。

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