「現代数学入門」環の実例

環の実例

(１) 正負の整数の集合で加法と乗法は通常のものをとります。

Γ＝{……,-3,-2,-1,0,1,2,3,……}

これが環をなすことは言うまでもありません。

(２) 実数を係数とするすべての多項式の集合を通常の＋と×で結び付けるもの。

f(x) = a0+a1x+……+anx

(３) 実数の要素とする２行２列の行列の全体を行列の加法と乗法によって結び付けるもの。

実数,実数
A=
実数,実数

このような行列の作る環には交換法則は成立しません。

その実例として、

1　3
A=
1　4

2　4
B=
3　5

としますと、

　　 1　3　2　4
AB=
　　 1　4　3　5

　　 11　19
=
　　 16　28

　　 2　4　1　3
BA=
　　 3　5　2　4

　　 10　22
=
　　 13　29

ここで、ABとBAをくらべてみますと、明らかに違いますね。

AB≠BA

(４) GF(2)={0,1}の要素を要素に持つ２行２列の行列で、第２列は全て0になるもの。

0　0
　　 =0,
0　0

1　0
　　 =a1,
1　0

1　0
　　 =a2,
0　0

0　0
　　 =a3
1　0

このような行列が環をつくることは、次の表を見れば解かるとお思います。

■加法
+　0　a1　a2　a3
0　0　a1　a2　a3
a1 a1　0　a3　a2
a2 a2　a3　0　a1
a3 a3　a2 a1　 0

■乗法
×　0　a1　a2　a3
0　 0　 0　 0　 0
a1　0　a1　a1　 0
a2　0　a2　a2　 0
a3　0　a3　a3　 0

この環は、有限個の要素から成り立っています。
そして、交換法則は成り立ちません。

(５) [0,1]という区間で定義されたすべての連続関数の集合。
これを通常の加法と乗法に結び付けます。

これは交換法則の成立する――つまり可換な――環です。

以上のように環は体よりもはるかに範囲が広いのです。
特に(５)の例が示すように、連続関数の集合も環になるので、解析学との関係も深いものになってきます。

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