「現代数学入門」有限環

有限環

有限体の構造はひどく簡単なものでした。
要素の個数が定まるとその型は唯一つに決まってしまいます。
ところが、環になりますと、そうではありません。
要素の数が決まっても環としての構造はいくらでもあり得るのです。

しかし、この場合もより単純なものに分解できます。

有限環Rの要素の数――つまり位数――がrで、このrはお互いに素なmとnの積に分解するものとします。

r = m・n
(m,n) = 1

Rの中でm倍すると0になる要素全体の集合をR1とします。

つまり、

a+a+……+a=ma=0
　　 m

となるようなaの集合です。

同じくn倍すると0になるような要素全体をR2とします。
まず、R1、R2がRの部分環をなす事を証明いたします。

R1に属するa、bに関して

m(a+b) = ma+mb = 0+0 = 0
m(ab) = (ma)b = 0・b = 0

つまり、R1は環をなします。
R2についても同様です。
つぎに、R1の任意の要素aと、R2の任意の要素bをかけてみます。

(m,n)=1ですので、sm-tn=1となる２つとの整数が存在しますので、

ab = 1・ab = (sm-tn)ab = s(ma)b-ta(nb)
= 0-0 = 0

つまり、R1とR2の要素はかけると互いに打ち消し合います。
次に、Rの任意の要素xをとってくると

x = 1・x = (sm-tn)x = smx-tnx

Rの位数はmnですので、mnx=0。

故に、

n(smx) = s(mnx) = s・0 = 0

それ故にsmxはR2に属します。
同じくtnxはR1に属します。
従ってRの任意の要素はR1、R2の要素の和で表されます。

R1とR2の共通要素は0しかありません。
なぜならば、xはR1、R2に含まれているとしたならば、

x = 1・x = (sm-tn)x = s(mx)-t(nx)
= 0-0 = 0

となるからです。

Rの要素をxとし、それをR1、R2の要素の和として表した時、

x = x1+x2

この表わし方１通りしかありません。

もし、別の表わし方が存在したならば、

x = x'1+x'2
x1-x'1 = x'2-x2

それ故に、x1-x'1=0、x'2-x2=0

x1 = x'1、x2 = x'2

ここで以下のことが解かりました。

Rの任意の要素はR1とR2の要素の和として、ただ１通りに表わされます。

x = x1+x2
y = y1+y2

和と差は、

x±y = (x1±y1)+(x2±y2)

となり、積は

xy = (x1+x2)(y1+y2)x1y1+x2y1+x1y2+x2y2
0 0
= x1y1+x2y2

となります。

すなわち、RはR1+R2の形に分解でき、その加減乗はR1、R2の中だけで他とは無関係に行うことができます。

前節の場合、RはR1とR2に直和であると言い、R=R1+R2と書きます。

R1の位数はmで、R2の位数はmである事は容易に証明できます。
よって、次の定理が証明されたことになります。

定理：m、nが互いに素であるとき位数mnの環は、位数m、nの環の直和に分解される。

もし、

r = p1^(a1)p2^(a2)……ps^(as)

としますと、この定理を次々と適応しますと、有限環は素数の冪を位数に持つ環の直和に分解してしまいます。
それ故に、結局、このような環の構造を研究しておいて、その後で直和を作ると、全ての有限環の構造は解かる筈です。

体の場合には容易に解かりますが、環の場合は素数冪の位数を持つすべての環を数え上げる事は容易ではありません。

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