「現代数学入門」準同型環

準同型環

環が作り出されてくる過程の一つとして、準同型の作る環があります。

Mがある加法の群であるとしますと、

M={a,b,c,……}

任意のa、bに対して

a±b∈M

となるものとします。

ここで、Mの要素aをMの要素dにうつす写像αがあって、次の条件を満たしているものとします。

α(a±b)=α(a)±α(b)

和を和に変えますが、一対一とは限らず一般には多対一であっても構わないので、準同型と言えます。

このような全ての準同型の集合

R={α,β,……}

を取ります。

このRの中に次のようにして加法と減法を定義します。

(α±β)a=α(a)±β(a)

そのようにして定義した和と差はやはり準同型です。

なぜならば、

(α±β)(a+b)=α(a+b)±β(a+b)
=α(a)+α(b)±β(a)±β(b)
=(α(a)±β(a))+(α(b)±β(b))
=(α+β)(a)±(α+β)(b)

となるからです。

また、積αβは、

αβ(a)=α(β(a))

で定義します。

そうすると、これはまた準同型になります。

αβ(a+b)=α(β(a)+β(b))=α(β(a))+α(β(b))
=αβ(a)+αβ(b)

つまり、αβもやはり準同型なのです。

次に加法の交換法則を見てみます。

(α+β)(a)=α(a)+β(a)=β(a)+α(a)
=(β+α)(a)

しかし、乗法の交換側は一般に成立しません。

結合法則は、

{(α+β)+γ}(a)=(α+β)(a)+γ(a)
=(α(a)+β(a))+γ(a)=α(a)+(β(a)+γ(a))
=α(a)+(β+γ)(a)={α+(β+γ)}(a)
{(αβ)γ}(a)=αβ(γ(a))=α(β(γ(a)))

分配法則は次のようにします。

{α(β+γ)}(a)=α((β+γ)(a))=α(β(a)+γ(a))
=α(β(a))+α(γ(a))=(αβ(a)+(αγ)(a)
=(αβ+αγ)(a)

(β+γ)α=βα+γα

についても全く同じです。
以上のことにより、Rが環を作る事が解かりました。
このような環を加群Mの準同型環と言います。

例えばMが位数nの巡回加群

M={0,1,2,……n-1}

でmod nの剰余で表されるものとします。

αが1をmにうつすものとします。

α(1)=m

この時

α(s)=α(1+1+……+1)=α(1)+α(1)+……+α(1)
              s

=sα(1)=sm

それ故に、このような準同型は唯一つしかない。
これをamで表します。

(αl+αm)(1)=αl(1)+αm(1)=l+m

つまり、

αl+αm=(α)l+m
(αlαm)(1)=αl(αm(1))=αl(1)=lm

従って

αlαm=αlm
αn(1)=n≡0 (mod n)

であるので、

αn=α0

それ故にこの環はmod nの剰余の作る環と同じなのです。

準同型環二

Mが巡回群でなくなりますと、その準同型環は簡単には解からなくなります。
Mを整数の成分を持つn次元のベクトルを作る加法の群、つまり、n次元の格子点の群であるとします。

この時、

1          0                0
0          1                0
0　=e1,    0  =e2,    ……  0  =en
・         ・               0
・　　　　 ・               0
0          0                1

とします。
この準同型αでe1、e2、……、enがそれぞれ、A1、A2、……、Anにうつったとします。

α(e1)=A1、α(e2)=A2、……、α(en)=An

このA1、A2、……、Anを知るだけでαは一通りに定まります。

     a11         a21               a1n
     a22         a22               a2n
A1=  ・    A2=   ・     ……  An=   ・
     ・          ・                 ・
     an1          an2              ann

一般のベクトルを

     x1
     x2
X=   ・
     ・
     xn

     1        0            0
     0        1            0
X=   ・ x1+   ・ x2+ ……+ ・ xn
     ・       ・           ・
     0        0             1

=e1x1+e2x2+……+enxn
α(X)=α(e1x1+e2x2+……+enxn)
=α(e1x1)+α(e2x2)+……+α(enxn)
=α(e1)x1+α(e2)x2+……+α(en)xn
=A1x1+A2x2+……+Anxn

      a11 a12 …… a1n  x1
      a21 a22 …… a2n  x2
   =   ・ ・　　　　・  ・
       ・ ・        ・  ・
      an1 an2 …… ann  xn

αはこのn行n列で完全に定まりますので、αをこの行列と同じに見ても構いません。

このようなαの全体は整数の要素を持つ行列の全体と同じです。
n次元の格子点のベクトルの代わりに(-∞,+∞)の区間で定義された関数f(x),g(x),……を考えてみます。

この時、f(x)を他のある関数にうつす準同型をαとしますと、

α(f(x)±g(x))=α(f(x))±α(g(x))

でなければなりません。
その上、さらにcが定数の時、

α(cf(x))=cα(f(x))

が成立する時、αを線形作用素(Linear operator )と言います。
このような例として微分の演算があります。

それというのも、

d／dx(f(x)±g(x))=d／dxf(x)±d／dxg(x),

d／dx(cf(x))=cd／dxf(x)

となるからです。
ただし、f(x)、g(x)はともに微分可能であるとします。

このように考えますと、f(x)から切り離してd／dxというオペレーターを考えることができるようになりました。
このオペレーターは、解析学で重要なものです。

いまf(x)をxf(x)に変えるオペレーターを単にxと書く事にすれば、

d／dx(xf(x))=xd／dxf(x)+f(x)

f(x)を変えないオペレーターをEと書くと、

=(xd／dx+E)f(x)

それ故にオペレーターとしては、

d／dxx=xd／dx+E

という関係式が成立します。
このようにd／dxとxは可換ではないのです。
この関係式は、量子力学の不確定性原理に関係します。

「現代数学入門」準同型環