数学が密かなブームということで、遠山啓著「現代数学入門」(ちくま学芸文庫)をもとに現代数学について解説しています。
これは、T2の中で一方のテインの関わりに閉集合をおさえたものです。
閉集合の１点とそれを含まない閉集合は共通部分のない近傍を持ちます。
これを第３の分離公理と言います。
しかし、注意しなければならないのは、この条件からT2はで出来ません。
何故なら、T1は成立するかどうか解からないので、すべての点は必ずしも閉集合であるとは限りません。
それ故にT1が成立すれば、この条件からT2が出てくるのです。
このような空間を正規と名付けます。
更に進んで、両方とも閉集合になる場合は次の条件をになります。
「互いに共通部分を持たない２つの閉集合はやはり共通部分のない近傍を持つ」。
この条件を満たすT1-空間を正則、もしくはT4-空間といいます。
このように分離の条件をだんだん厳しくして行くと、わたしたちにとってなじみ深いユークリッド空間に近づいてゆくのです。
しかし、その途中にある重要な空間は距離空間です。
そこが問題となるのは位相空間にはどのような条件があれば、距離空間と位相的に同じになるのか、ということです。
しかし、これは難しい問題ですので、省略します。
