「現代数学入門」準同型

準同型

一つの群Gからもう一つの群G'に一対一で構造を変えないようにうつす写像が同型の対応であり、同型の対応が一つでも存在すればそれら二つの群は全く同型でした。

しかし、ここで「一対一」という条件を少しばかり緩めて「多対一」でもよいとすると、準同型という考え方が生まれてきます。

Gの要素a,b,……をφという写像によってGの要素a',b',……にうつすとします。

φ(a)=a'
φ(b)=b'
…………

ここで積が積にうつり、逆元が逆元にうつるものとすると、式で表すと、

φ(ab)=φ(a)φ(b)
φ(a^-1)=φ(a)^-1

このような条件を満足する写像を準同型写像といい、G'はGに準同型であると言います。

これで、Gの構造がG'の構造をうつされるということが解かります。

φは「多対一」という条件がついているから、G'のなかのa'にうつるGの要素の全体をφ^-1(a')で表すと、a'と異なるb'に対してφ^-1(a')とφ^-1(b')とは共通部分を持ちません。

もし、ある要素cがφ^-1(a')とφ^-1(b')の双方に属すれば

φ(c)=a'
φ(c)=b'

の双方が成り立つことになって、φが「多対一」であるという仮定に反します。

だからG→G'によって、φは互いに共通部分のない部分集合に分割されます。

G=φ^-1(a')+φ^-1(b')+……

このような部分集合を類と名付けます。これは一つの学校の生徒をクラスに分けるのと同じです。

この時Gの要素はG'にうつされたさきにだけ注目することにすると、同じ類に属する要素は区別できないということになります。

準同型二

例えば、Gは複素数の加法の群とします。
Gの一つの要素zの実数部分をR(z)で表すとします。
その場合、R(z)はGから実数の加法の群G'への写像を意味します。

しかも、

R(z1+z2)=R(z1)+R(z2)
R(-z1)=-R(z1)

という関係が全てのz1,z2に対して成り立つので準同型を意味します。

この時Gはガウス平面における垂直線上の点の集合です。

このような写像R(z)は複素数の虚数部分の違いを無視して、実数部分だけに着眼すると言う意味を持ちます。
つまり、R(z)という準同型きGの構造の一側面を荒っぽく描写する働きがあります。

以上のことからともかくもGからG'への準同型写像によって、Gが類へ分割されたわけですが、この類しどのような性質をもっているのでしょうか。

a1とa2、b1とb2が同じ類に属すれば、定義によって

φ(a1)=φ(a2)
φ(b1)=φ(b2)

となる事は言うまでもありません。
この時、a1b1とa2b2はやはり同じ類に属するのです。

それは、

φ(a1b1)=φ(a1)φ(b1)=φ(a2)φ(b2)=φ(a2b2)

となるからです。

a1、a2が属している類をA、b1、b2が属している類をBとすると、Aに属する任意の要素とBに属する任意の要素を選び出して、その積を作りますと、それらは唯一つの類に含まれます。
いくつかの積に散逸してしまうことにはなりません。

つまり、Gの乗法に対してA、B、そしてAとBとの積の類は一団となって作用し、それを崩す事はありません。

準同型三

ここではGの乗法に対してA、B、そしてAとBとの積の類が一段となっているということは、要素の集合である各々の類が、一つのものと看做されることを意味します。
ここで、最も重要な類Hとして、G'の単位元e'に写像されるGの要素の全体φ^-1(e')を考えてみます。

これはGの中でどのような部分集合となるのでしょうか。

まず、HはGの部分群である事が解かると思います。
そのHに属する任意の二つの要素a1,a2をとりますと、

φ(a1)=e'
φ(a2)=e'

となり、それをかけ合わせますと、

φ(a1)φ(a2)=e'e'=e'
φ(a1a2)=e'

それ故にa1a2はe'にうつされますので、a1a2はHに属することが解かります。

また、a1がHに属すれば、

φ(a1)=e'
φ(a1)^1=e'^-1=e'
φ(a1^-1)=e'

それ故にa1^-1もHに属することになります。
つまり、HはGの部分群をなしていることになります。

次に、Gの任意の要素をxとし、Hの任意の要素をaとしますと、xax^-1はまたHに属することになります

何故ならば、

φ(xax^-1)=φ(x)φ(a)φ(a^-1)=φ(x)e'φ(x)^-1=φ(x)φ(x)^-1=e'

つまり、xax^-1もφによってe'に写像されますので、Hに属することになります。

結局、HはGの不変部分群になる事が解かりました。

以上のように準同型写像φ(G)=G'である時、G'の単位元e'にうつされるGの要素の全体HはGの不変部分群になり、そのHを準同型写像の核と言います。

「現代数学入門」準同型